Question

18．函數f（x）=$\frac{x}{x+1}$的對稱中心為（-1，1），如果函數g（x）=$\frac{{{x^3}-a{x^2}+2ax}}{x+1}$（ x＞-1）的圖象經過四個
象限，則實數 a 的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 把函數f（x）的解析式化為1-$\frac{1}{x+1}$，可得它的圖象 的對稱中心；分析題意可得故h（x）=x²-ax+2a 在區(qū)間（-1，0）、（ 0，+∞）上各有一個零點，故有h（-1）=3a+1＞0，且 h（0）=2a＜0，由此求得a的范圍．

解答 解：函數f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$ 的對稱中心為 （-1，1），
函數g（x）=$\frac{{{x^3}-a{x^2}+2ax}}{x+1}$=（x²-ax+2a）•$\frac{x}{x+1}$ （ x＞-1）的圖象經過四個象限，
當x＞0時，$\frac{x}{x+1}$＞0，當-1＜x＜0時，$\frac{x}{x+1}$＜0，
故h（x）=x²-ax+2a 在區(qū)間（-1，0）、（ 0，+∞）上各有一個零點，
故有h（-1）=3a+1＞0，且 h（0）=2a＜0，
求得-$\frac{1}{3}$＜a＜0，即實數 a 的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，0），
故答案為：（-1，1）、（-$\frac{1}{3}$，0）．

點評 本題主要考查函數的圖象的對稱性，二次函數的性質，函數零點的判定定理，屬于中檔題．