Question

13．已知 {a_n}是等差數列，其公差為非零常數 d，前 n 項和為 S_n．設數列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 項和為 T_n，當且僅當 n=6 時，T_n有最大值，則$\frac{a_1}p9vv5xb5$的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{5}{2}$）
• B． （-3，+∞）
• C． （-3，-$\frac{5}{2}$）
• D． （-3，+∞）∪（-$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由等差數列前n項和公式得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\fracp9vv5xb5{2}n+（{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}）$，由數列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 項和為 T_n，當且僅當 n=6 時，T_n有最大值，列出不等式組，能求出$\frac{a_1}p9vv5xb5$的取值范圍．

解答 解：∵{a_n}是等差數列，其公差為非零常數 d，前 n 項和為 S_n．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\fracp9vv5xb5{2}n+（{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}）$，
∵數列{$\frac{S_n}{n}$}的前 n 項和為 T_n，當且僅當 n=6 時，T_n有最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{S}_{6}}{6}={a}_{1}+\frac{5}{2}d＞0}\\{\frac{{S}_{7}}{7}={a}_{1}+3d＜0}\\{d＜0}\end{array}\right.$，
解得-3＜$\frac{{a}_{1}}p9vv5xb5$＜-$\frac{5}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查等差數列中首項與公差的比值的取值范圍的求法，考查等比數列、等差數列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．