Question

8．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M為AD的中點，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=$-\frac{11}{3}$．

Answer 1

分析 首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法則將$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$用梯形的各邊表示，展開分別求數量積即可．

解答 解：由已知得到cos∠A=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{AB×AD}=\frac{2}{3}$，
AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M為AD的中點，
若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=4，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BM}$=（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$）（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$）
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}•\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}•\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
=2×3×$（-\frac{2}{3}）$+$\frac{1}{2}×{2}^{2}$-1×3$+1×2×\frac{2}{3}$=$-\frac{11}{3}$；
故答案為：$-\frac{11}{3}$．

點評 本題考查了向量的數量積運算和向量的加減的幾何意義，屬于中檔題