Question

18．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知csinA=-$\sqrt{3}$acosC，c=$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知可得：sinCsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosC，結合sinA≠0，利用同角三角函數基本關系式可求tanC=-$\sqrt{3}$，結合范圍C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，進而利用三角形面積公式即可計算得解△ABC面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵csinA=-$\sqrt{3}$acosC，c=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：sinCsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵A為三角形內角，sinA≠0，
∴sinC=-$\sqrt{3}$cosC，可得：tanC=-$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$…5分
（Ⅱ）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：3=a²+b²+ab，
∴a²+b²=3-ab≥2ab，可得：ab≤1，當且僅當a=b時等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，當且僅當a=b時等號成立，即△ABC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數基本關系式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．