Question

19．如果（3x-$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$）ⁿ的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中$\frac{1}{{x}^{3}}$的系數(shù)是（　　）

• A． 21
• B． 14
• C． -14
• D． -21

Answer 1

分析 給二項(xiàng)式中的x賦值1，求出展開式的各項(xiàng)系數(shù)和，列出方程，求出n；將n的值代入二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為-3，求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)，求出展開式中$\frac{1}{{x}^{3}}$的系數(shù)．

解答 解：令x=1得展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和2ⁿ，
∴2ⁿ=128，
解得n=7．
∴展開式的通項(xiàng)為（-1）^r•3^7-rC₇^rx${\;}^{7-\frac{5}{3}r}$
令7-$\frac{5}{3}$r=-3，
解得r=6．
所以展開式中$\frac{1}{{x}^{3}}$的系數(shù)是3C₇⁶=21．
故選A

點(diǎn)評(píng) 本題考查通過給二項(xiàng)式中的x賦值求展開式的系數(shù)和、考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．