Question

20．已知菱形 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 相交于一點 O，∠A=60°，將△BDC 沿著 BD 折起得△BDC'，連結 AC'．
（Ⅰ）求證：平面 AOC'⊥平面 ABD；
（Ⅱ）若點 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只需證明C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，BD⊥面 AOC'，
即可得平面 AOC'⊥平面 ABD．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系O-xyz，令AB=a，則A（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0，0）．
B（0，$\frac{1}{2}a$，0），D（0，-$\frac{1}{2}a$，0），C′（$\frac{\sqrt{3}}{6}a，0，\frac{\sqrt{6}}{3}a$），利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）∵C′O⊥DB，AO⊥BD，C′O∩AO=O，∴BD⊥面 AOC'，
又BD?平面 ABD，∴平面 AOC'⊥平面 ABD．
（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系O-xyz，令AB=a，則A（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0，0）．
B（0，$\frac{1}{2}a$，0），D（0，-$\frac{1}{2}a$，0），C′（$\frac{\sqrt{3}}{6}a，0，\frac{\sqrt{6}}{3}a$），
設面ADC'的法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
$\overrightarrow{AD}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}a，-\frac{1}{2}a，0）$，$\overrightarrow{AC′}=（-\frac{\sqrt{3}}{3}a，0，\frac{\sqrt{6}}{3}a）$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}=（-\frac{\sqrt{3}}{2}a，\frac{1}{2}a，0）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}}{2}ax-\frac{1}{2}ay=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC′}=-\frac{\sqrt{3}}{3}ax+\frac{\sqrt{6}}{3}az=0}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}=（1，-\sqrt{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{-\sqrt{3}a}{a×\frac{3\sqrt{2}}{2}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴直線 CD 與底面 ADC'所成角的正弦值為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$

點評 本題考查了線面垂直的判定，向量法求線面角，屬于中檔題．