Question

10．定義在R上的偶函數f（x），對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），且當x∈[-1，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區間（-1，3]內關于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0（a＞0）恰有3個不同的實根，則實數a的取值范圍為（2，4）．

Answer 1

分析 由題意可得出函數是周期為2的偶函數且x∈（-1，1）時，f（x）=2^|x|-1，方程f（x）-log_a（x+1）=0的實數根的個數即兩函數y=f（x）與y=log_a（x+1）的圖象的交點個數，利用f（1）=f（3）=1，關于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0恰有3個不同的實數根，可得log_a（1+1）＜1且log_a（3+1）＞1，即可得出答案．

解答 解：f（x）是定義在R上的偶函數，當x∈[-1，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴x∈[-1，1]時，f（x）=2^|x|-1，
又對任意的x∈R，都有f（x-1）=f（x+1），則f（x）=f（x+2），故周期是2，
方程f（x）-log_a（x+1）=0的實數根的個數即兩函數y=f（x）與y=log_a（x+1）的圖象的交點個數，
由f（1）=f（3）=1，關于x的方程f（x）-log_a（x+1）=0恰有3個不同的實數根，
可得log_a（1+1）＜1且log_a（3+1）＞1，
∴2＜a＜4．
故答案為：（2，4）．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數判斷，函數的周期性與偶函數的性質，屬于中檔題．