Question

1．若f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2）在（-1，+∞）上是減函數，則b的取值范圍是（　�。�

• A． [一l，+∞）
• B． （一1，+∞）
• C． （一∞，一1]
• D． （一∞，一l）

Answer 1

分析 求出${f}^{'}（x）=-x+\frac{x+2}$，從而$\frac{x+2}≤x$在（-1，+∞）上恒成立，進而b≤x（x+2），設y=x（x+2），利用構造法能求出b的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2），
∴${f}^{'}（x）=-x+\frac{x+2}$，
∵f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2）在（-1，+∞）上是減函數，
∴${f}^{'}（x）=-x+\frac{x+2}$≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即$\frac{x+2}≤x$在（-1，+∞）上恒成立，
∵x＞-1，∴x+2＞1＞0，
∴b≤x（x+2），
設y=x（x+2），則y=x²+2x=（x+1）²-1，
∵x＞-1，∴y＞-1，
∴要使b≤x（x+2）成立，則有b≤-1．
∴b的取值范圍是（-∞，-1]．
故選：C．

點評 本題考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質、構造法的合理運用．