Question

13．正三棱錐S-ABC的外接球半徑為2，底面邊長AB=3，則此棱錐的體積為（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 先畫出圖形，正三棱錐外接球的球心在它的高上，然后根據三角形相似解出正三棱錐的高，則棱錐體積可求．

解答 解：如圖，設正三棱錐的高為h，球心在正三棱錐的高所在的直線上，H為底面正三棱錐的中心，
∵底面邊長AB=3，∴AH=$\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{2}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

當S與球心在底面ABC的同側時，有AH²+OH²=OA²，即$（\sqrt{3}）^{2}+（h-2）^{2}={2}^{2}$，解得h=3，
棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
當S與球心在底面ABC的異側時，有AH²+OH²=OA²，即$（\sqrt{3}）^{2}+（2-h）^{2}={2}^{2}$，解得h=1，
棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}×1=\frac{27\sqrt{3}}{4}$．
∴棱錐的體積為$\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$或$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查棱柱、棱錐及棱臺的體積，考查空間想象能力和思維能力，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．