Question

18．已知$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是夾角為60°的兩個單位向量，$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}$，求：
（Ⅰ） $\overrightarrow a•\overrightarrow b$；
（Ⅱ）|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|與|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|；
（Ⅲ）$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）向量的數量積公式計算出$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=$\frac{1}{2}$，再根據數量積公式計算即可，
（Ⅱ）根據向量的和差計算，再根據向量的模即可求出答案，
（Ⅲ）根據向量的數量積為0，則夾角為90°

解答 解：∵$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是夾角為60°的兩個單位向量，
∴$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=1×1×cos60°=$\frac{1}{2}$，
（Ⅰ）∵$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+6${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-13$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=6+6-$\frac{13}{2}$=$\frac{11}{2}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow a=3\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=2\overrightarrow{e_1}-3\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$=5$\overrightarrow{{e}_{1}}$-5$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$
|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|²=25${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+25${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-50$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=25+25-25=25，
|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|²=${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$-2$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=1+1-1=1
∴|$\overrightarrow a+\overrightarrow b$|=5，|$\overrightarrow a-\overrightarrow b$|=1
（Ⅲ）（$\overrightarrow a+\overrightarrow b$）（$\overrightarrow a-\overrightarrow b$）=5（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$⊥$\overrightarrow a-\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為90°．

點評 本題考查了向量的數量積公式和向量的夾角公式以及向量的模，屬于基礎題．