Question

7．若數列{a_n}對任意的正整數n和m等式a_n+m²=a_n×a_n+2m都成立，則稱數列{a_n}為m階梯等比數列，若{a_n}是3階梯等比數列有a₁=1，a₄=2，則a₁₀=8．

Answer 1

分析 根據題意列出等比關系式，直接計算即可．

解答 解：數列{a_n}對任意的正整數n和m等式a_n+m²=a_n×a_n+2m都成立，則稱數列{a_n}為m階梯等比數列，若{a_n}是3階梯等比數列，可得a_n+3²=a_n×a_n+6．
可得
$\frac{{a}_{n+3}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=2．
故$\frac{{a}_{10}}{{a}_{7}}$=$\frac{{a}_{7}}{{a}_{4}}$=2，
所以a₁₀=2a₇=2（2a₄）=4a₄=8．
故答案為：8．

點評 本題考查遞歸數列知識，理解“階梯比”的實質是解題的關鍵，屬基礎題．