Question

12．f（x）=ax³-6ax²+b，x∈[-1，2]的最大值為3，最小值為-29，則a+b的值為5或-31．

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，令導數為0求出根，通過對導函數二次項系數的分a＞0或a＜0兩類討論，判斷根左右兩邊導函數的符號，判斷出函數的單調性，求出函數的極值，再求出區間兩個端點的函數值，從它們中選出最值，列出方程求出a，b的值，從而求出a+b即可．

解答 解：f′（x）=3ax²-12ax=3ax（x-4）
令f′（x）=0得x=0或x=4（舍去）
①當a＞0時，x∈[-1，0）時，f′（x）＞0，x∈（0，2]時，f′（x）＜0
∴當x=0時，函數f（x）有最大值f（0）=b
∴b=3
∵此時，f（-1）=b-7a=3-7a，f（2）=b-16a=3-16a
∴f（x）的最小值為3-16a
∴3-16a=-29
解得a=2，
此時a+b=5，
②當a＜0時，x∈[-1，0）時，f′（x）＜0，x∈（0，2]時，f′（x）＞0
∴當x=0時，函數f（x）有最小值f（0）=b
∴b=-29
∵此時，f（-1）=b-7a=-29-7a，f（2）=b-16a=-29-16a
∴f（x）的最大值為-29-16a
∴-29-16a=3
解得a=-2，
此時：a+n=-31
故答案為：5或-31．

點評 利用導函數求函數某個閉區間上的最值，一般先求出函數的導函數，令導函數等于0求出根，判斷根左右兩邊的導函數的符號，求出函數的極值，再求出區間兩個端點的函數值，選出最值．