Question

19．已知函數f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-abc，a＜b＜c且f（a）=f（b）=f（c）=0，現有四個結論：
①f（1）f（0）＞0；②f（1）f（0）＜0；③f（2）f（0）＜0；④f（2）f（0）＞0
正確的結論是（　　）

• A． ②④
• B． ①③
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 根據f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數的極值點及a、b、c的大小關系，判斷出f（0）、f（2）的符號得答案．

解答 解：求導函數可得f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴當1＜x＜2時，f'（x）＜0；當x＜1，或x＞2時，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，1），（2，+∞）單調遞減區間為（1，2），
則f（x）極大值=f（1）=1-$\frac{9}{2}$+6-abc=$\frac{5}{2}$-abc，
f（x）極小值=f（2）=8-18+12-abc=2-abc，
要使f（x）=0有三個解a、b、c，則：a＜1＜b＜2＜c，
即函數有個零點x=b在1～2之間，
∴f（1）=$\frac{5}{2}$-abc＞0，且f（2）=2-abc＜0，
∴2＜abc＜$\frac{5}{2}$，
∵f（0）=-abc，
∴f（0）＜0，
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（2）＞0，
∴正確的結論是②④．
故選：D．

點評 本題考查函數的零點、極值點，解不等式，考查數形結合的解題思想方法，是中檔題．