Question

19．分形幾何學是數學家伯努瓦曼德爾布羅在20世紀70年代創立的一門新的數學學科．它的創立為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖1所示的分形規律可得如圖2所示的一個樹形圖：

易知第三行有白圈5個，黑圈4個．我們采用“坐標”來表示各行中的白圈、黑圈的個數．比如第一行記為（1，0），第二行記為（2，1），第三行記為（5，4）．照此規律，第n行中的白圈、黑圈的“坐標”為（x_n，y_n），則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}$=1．

Answer 1

分析 根據圖甲所示的分形規律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，根據第三行的數據可求出第四行的“坐標”；再根據前五行的白圈數乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，可歸納第n行的白圈數，黑圈數，即可得出結論．

解答 解：根據圖甲所示的分形規律，1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，
第一行記為（1，0），第二行記為（2，1），第三行記為（5，4），第四行的白圈數為2×5+4=14；黑圈數為5+2×4=13，
∴第四行的“坐標”為（14，13）；
第五行的“坐標”為（41，40），
各行白圈數乘以2，分別是2，4，10，28，82，即1+1，3+1，9+1，27+1，81+1，
∴第n行的白圈數為$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$，黑圈數為為$\frac{{3}^{n-1}+1}{2}$-1=$\frac{{3}^{n-1}-1}{2}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{x}_{n}}{{y}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{3}^{n-1}+1}{{3}^{m-1}-1}$=1
故答案為：1．

點評 本題考查了歸納推理的應用，多觀察幾組數據是發現規律的有效方法．