Question

9．三棱錐P-ABC三條側棱兩兩垂直，三條側棱長分別為$1，\sqrt{5}，\sqrt{10}$，求該三棱錐的外接球體積．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把三棱錐補形為正方體，求出正方體的體對角線長，得到三棱錐的外接球的半徑，則答案可求．

解答 解：如圖，

∵三棱錐P-ABC三條側棱兩兩垂直，且三條側棱長分別為$1，\sqrt{5}，\sqrt{10}$，
∴把三棱錐P-ABC補形為正方體PQ，則PQ²=${1}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}=16$，
∴PQ=4，則三棱錐的外接球的半徑為$\frac{1}{2}PQ=2$．
∴三棱錐的外接球體積V=$\frac{4}{3}π×{2}^{3}$=$\frac{32}{3}π$．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，補形是關鍵，是中檔題．