Question

1．已知動圓P過定點A（-3，0），并且與定圓B：（x-3）²+y²=64內切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）過M（2，1）作直線l交E于A，B兩點，且M恰是AB中點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設動圓P和定圓B內切于M，則動圓的圓心P到兩點，即定點A（-3，0）和定圓的圓心B（3，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，根據橢圓的定義，可得結論．
（2）設出A，B的坐標，然后根據它們的中點為M，可將坐標間的關系轉化為求直線l的斜率，然后再由點斜式求出直線方程．

解答 解：（1）如圖，設動圓P和定圓B內切于M，則動圓的圓心P到兩點，即定點A（-3，0）和定圓的圓心B（3，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．
∴點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a=4，c=3，b=$\sqrt{7}$，
∴動圓圓心P的軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}$=1；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
代入橢圓方程，作差整理可得k_AB=-$\frac{7}{8}$，
又∴直線l的方程為y-1=-$\frac{7}{8}$（x-2），
即7x+8y-22=0．

點評 本題重點考查軌跡方程的探求，點作差法的應用，解題的關鍵是利用兩圓的位置關系，得出動圓的圓心P到兩定點A（-3，0）和定圓的圓心B（3，0）的距離之和恰好等于定圓半徑，屬于中檔題．