Question

16．已知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{{a}_{n+1}=\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+3}}\end{array}\right.$，求通項(xiàng)公式a_n=$\sqrt{3n+22}$．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列{a_n²}是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，然后求解即可．

解答 解：因?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{{a}_{n+1}=\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+3}}\end{array}\right.$，
所以a_n+1²=a_n²+3，n≥2，
可得a_n+1²-a_n²=3，所以{a_n²}是以25為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
a_n²=25+3（n-1）=3n+22．
可得a_n=$\sqrt{3n+22}$．
故答案為：$\sqrt{3n+22}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．