Question

14．某中醫研制了一種治療咳嗽的湯劑，規格是0.25kg/瓶，服用劑量是每次一瓶，治療時需把湯劑放在熱水中加熱到t⁰C才能給病人服用，若把m₁kg湯藥放入m₂kg熱水中，待二者溫度相同時取出，則湯劑提高的溫度t₁℃與熱水降低的溫度t₂℃滿足關系式m₁t₁=0.8m₂t₂，某次治療時，王護士把x瓶溫度為10⁰C湯劑放入溫度為90°C、質量為2.5kg的熱水中加熱，待二者溫度相同時取出，恰好適合病人服用．
（1）求x關于t的函數解析式；
（2）若t∈[30，40]，問：王護士加熱的湯劑最多夠多少個病人服用？

Answer 1

分析 （1）利用條件列出方程0.25x（t-10）=0.8×2.5（90-t），可得x關于t的函數解析式．
（2）解法一：設30≤t₁＜t₂≤40，判斷函數x（t）在[30，40]上為減函數，然后求解最大值，推出結果．
解法二：由$x=\frac{720-8t}{t-10}$，可得$t=\frac{720+10x}{x+8}$，利用t∈[30，40]，轉化為不等式求解即可．

解答 解：（1）依題意，可得0.25x（t-10）=0.8×2.5（90-t），
整理得x關于t的函數解析式為[$x=\frac{720-8t}{t-10}$．…（4分）
（2）解法一：設30≤t₁＜t₂≤40，則$x（{t_1}）-x（{t_2}）=\frac{{720-8{t_1}}}{{{t_1}-10}}-\frac{{720-8{t_2}}}{{{t_2}-10}}=\frac{{640（{t_2}-{t_1}）}}{{（{t_1}-10）（{t_2}-10）}}$
因為30≤t₁＜t₂≤40，所以（t₁-10）（t₂-10）＞0，t₂-t₁＞0，所以$\frac{{640（{t_2}-{t_1}）}}{{（{t_1}-10）（{t_2}-10）}}＞0$，
即x（t₁）-x（t₂）＞0，
所以x（t₁）＞x（t₂），所以x（t）在[30，40]上為減函數．…（10分）
所以$x{（t）_{max}}=x（30）=\frac{720-8×30}{30-10}=24$，所以王護士加熱的湯劑最多夠24個病人服用．…（12分）
解法二：由$x=\frac{720-8t}{t-10}$，可得$t=\frac{720+10x}{x+8}$．…（6分）
由t∈[30，40]，可得$30≤\frac{720+10x}{x+8}≤40$，因為x+8＞0，所以3（x+8）≤72+x≤4（x+8），解得$\frac{40}{3}≤x≤24$．
所以王護士加熱的湯劑最多夠24個病人服用．…12分

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，實際問題的處理方法，考查轉化思想以及計算能力．