Question

5．在平面幾何中，有“若△ABC的周長c，面積為S，則內切圓半徑r=$\frac{2S}{c}$”，類比上述結論，在立體幾何中，有“若四面體ABCD的表面積為S，體積為V，則其內切球的半徑r=（　　）

• A． $\frac{3V}{S}$
• B． $\frac{2V}{S}$
• C． $\frac{V}{2S}$
• D． $\frac{V}{3S}$

Answer 1

分析 根據平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內切圓類比內切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答 解：設四面體的內切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
則四面體的體積為 V四面體A-BCD=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）R
∴R=$\frac{3V}{S}$．
故選：A．

點評 本題考查類比推理的應用，類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（或猜想）．