Question

15．為了了解籃球愛好者小李投籃命中率與打籃球時間之間的關系，記錄了小李第i天打籃球的時間x_i（單位：小時）與當天投籃命中率y_i的數據，其中i=1，2，3，4，5．算得：$\sum_{i=1}^{5}$x_i=15，$\sum_{i=1}^{5}$y_i=2.5，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=7.6，$\sum_{i=1}^{5}$x${\;}_{i}^{2}$=5.5，．
（Ⅰ）求投籃命中率y對打籃球時間x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）若小李明天準備打球2.5小時，預測他的投籃命中率．
附：線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$為樣本平均數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，寫出回歸方程；
（Ⅱ）將x=2.5代入回歸方程，計算對應的$\widehat{y}$值即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：n=5，
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$x_i=$\frac{1}{5}$×15=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×$\underset{\stackrel{5}{∑}}{i=1}$y_i=$\frac{1}{5}$×2.5=0.5，
于是$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}$=$\frac{7.6-5×3×0.5}{55-5{×3}^{2}}$=0.01，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=0.5-0.01×3=0.47，
故所求回歸方程為$\widehat{y}$=0.01x+0.47；
（Ⅱ）將x=2.5代入回歸方程$\widehat{y}$=0.01x+0.47，
可以預測他的投籃命中率為
$\widehat{y}$=0.01×2.5+0.47=0.495．

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，是基礎題目．