Question

6．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且∠F₁PF₂=$\frac{2π}{3}$，若△PF₁F₂的面積為$9\sqrt{3}$，則b=（　　）

• A． 9
• B． 3
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 設|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用定義可得m+n=2a，利用余弦定理可得：（2c）²=m²+n²-2mn$cos\frac{2π}{3}$=（m+n）²-mn，化簡可得：4b²=mn．又$\frac{1}{2}$mnsin$\frac{2π}{3}$=9$\sqrt{3}$，代入解出即可得出．

解答 解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m+n=2a，
（2c）²=m²+n²-2mn$cos\frac{2π}{3}$=（m+n）²-mn，
∴4b²=mn．
又$\frac{1}{2}$mnsin$\frac{2π}{3}$=9$\sqrt{3}$，∴$2{b}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$，解得b=3．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．