Question

16．上海市松江區天馬山上的“護珠塔”因其傾斜度超過意大利的比薩斜塔而號稱“世界第一斜塔”．興趣小組同學實施如下方案來測量塔的傾斜度和塔高：如圖，記O點為塔基、P點為塔尖、點P在地面上的射影為點H．在塔身OP射影所在直線上選點A，使仰角k∠HAP=45°，過O點與OA成120°的地面上選B點，使仰角∠HPB=45°（點A、B、O都在同一水平面上），此時測得∠OAB=27°，A與B之間距離為33.6米．試求：
（1）塔高（即線段PH的長，精確到0.1米）；
（2）塔身的傾斜度（即PO與PH的夾角，精確到0.1°）．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：△PAH，△PBH均為等腰直角三角形，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，即可求得x=$\frac{\frac{AB}{2}}{cos∠HAB}$=$\frac{16.8}{cos27°}$=18.86；
（2）∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.86，由正弦定理可知：$\frac{OH}{sin∠OBH}$=$\frac{BH}{sin∠BOH}$，OH=$\frac{18.86×sin6°}{sin120°}$=2.28，則傾斜角∠OPH=arctan$\frac{OH}{PH}$=arctan$\frac{2.28}{18.86}$=6.89°．

解答 解：（1）設塔高PH=x，由題意知，∠HAP=45°，∠HBP=45°，
∴△PAH，△PBH均為等腰直角三角形，
∴AH=BH=x…（2分）

在△AHB中，AH=BH=x，∠HAB=27°，AB=33.6，
∴x=$\frac{\frac{AB}{2}}{cos∠HAB}$=$\frac{16.8}{cos27°}$=18.86…（6分）
（2）在△BOH中，∠BOH=120°，
∴∠OBH=180°-120°-2×27°=6°，BH=18.9，
由$\frac{OH}{sin∠OBH}$=$\frac{BH}{sin∠BOH}$，
得OH=$\frac{18.86×sin6°}{sin120°}$=2.28，…（10分）
∴∠OPH=arctan$\frac{OH}{PH}$=arctan$\frac{2.28}{18.86}$≈6.9°，…（13分）
∴塔高18.9米，塔的傾斜度為6.9°．                  …（14分）

點評 本題考查解三角形的綜合應用，考查正弦定理，反三角函數的應用，考查數形結合思想，屬于中檔題．