Question

7．設雙曲線C：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$，F₁，F₂為其左右兩個焦點．
（1）設O為坐標原點，M為雙曲線C右支上任意一點，求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}$的取值范圍；
（2）若動點P與雙曲線C的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為$-\frac{1}{9}$，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設M（x，y），$x≥\sqrt{2}$，左焦點${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，通過$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}=（x，y）•（x+\sqrt{5}，y）$利用二次函數的性質求出對稱軸$x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}≤\sqrt{2}$，求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}$的取值范圍．
（2）寫出P點軌跡為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，利用$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{5}$，|PF₁|+|PF₂|=2a，結合余弦定理，以及基本不等式求解橢圓方程即可．

解答 解：（1）設M（x，y），$x≥\sqrt{2}$，左焦點${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}=（x，y）•（x+\sqrt{5}，y）$=${x^2}+\sqrt{5}x+{y^2}={x^2}+\sqrt{5}x+\frac{{3{x^2}}}{2}-3$…（4分）
=$\frac{5}{2}{x^2}+\sqrt{5}x-3$（$x≥\sqrt{2}$）
對稱軸$x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}≤\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}∈[{2+\sqrt{10}，+∞}）$…（3分）
（2）由橢圓定義得：P點軌跡為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{5}$，|PF₁|+|PF₂|=2a$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}+{{|{P{F_2}}|}^2}-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}=\frac{{4{a^2}-2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}$=$\frac{{4{a^2}-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}-1$…（4分）
由基本不等式得$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|≥2\sqrt{|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}$，
當且僅當|PF₁|=|PF₂|時等號成立$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{a^2}$$⇒cos∠{F_1}P{F_2}≥\frac{{4{a^2}-20}}{{2{a^2}}}-1=-\frac{1}{9}⇒{a^2}=9$，b²=4
所求動點P的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$…（3分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，考查計算能力．