Question

7．已知m∈R，設p：對?x∈[-1，1]，x²-2x-4m²+8m-2≥0恒成立；q：?x∈[1，2]，${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}-mx+1）＜-1$成立．如果“p∨q”為真，“p∧q”為假，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 如果“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p與q一真一假，進而可得m的取值范圍．

解答 解：若p為真：對?x∈[-1，1]，4m²-8m≤x²-2x-2恒成立，
設f（x）=x²-2x-2，配方得f（x）=（x-1）²-3，
∴f（x）在[-1，1]上的最小值為-3，
∴4m²-8m≤-3，
解得$\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}$，
∴p為真時，$\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}$；
若q為真：?x∈[1，2]，x²-mx+1＞2成立，
∴$m＜\frac{{{x^2}-1}}{x}$成立，
設$g（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x}=x-\frac{1}{x}$，易知g（x）在[1，2]上是增函數，
∴g（x）的最大值為$g（2）=\frac{3}{2}$，
∴$m＜\frac{3}{2}$，
∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，
∴p與q一真一假，
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}\\ m≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴$m=\frac{3}{2}$，
當p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}m＜\frac{1}{2}或m＞\frac{3}{2}\\ m＜\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴$m＜\frac{1}{2}$，
綜上所述，m的取值范圍為$m＜\frac{1}{2}$或$m=\frac{3}{2}$．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數恒成立問題，函數的最值，難度中檔．