Question

15．（1）設二次函數f（x）的圖象與y軸交于（0，-3），與x軸交于（3，0）和（-1，0），求函數f（x）的解析式
（2）若f（x+1）=3x-5 求函數f（x）的解析式
（3）已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x（1+x），求函數的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意，f（x）是二次函數，設f（x）=ax²+bx+c，圖象與y軸交于（0，-3），與x軸交于（3，0）和（-1，0），求解a，b，c的值，可得f（x）的解析式．
（2）利用換元法求解函數f（x）的解析式
（3）根據函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=x（1+x），即可求x＜0時的解析式．

解答 解：由題意，f（x）是二次函數，設f（x）=ax²+bx+c，
∵圖象與y軸交于（0，-3），
∴c=-3．
∵與x軸交于（3，0）和（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b-3=0}\\{a-b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-2
故得函數f（x）的解析式的為：f（x）=x²-2x-3．
（2）∵f（x+1）=3x-5 
令t=x+1，則x=t-1，
那么f（x+1）=3x-5轉化為g（t）=3（t-1）-5=3t-8
∴函數f（x）的解析式為：f（x）=3x-8．
（3）函數f（x）是定義在R上的奇函數，即f（-x）=-f（x）．
當x≥0時，f（x）=x（1+x），
當x＜0時，則-x＞0，那么f（-x）=-x（1-x）=-f（x）
∴f（x）=x（1-x）
函數f（x）的解析式的為：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（x+1），（x≥0）}\\{x（1-x），（x＜0）}\end{array}\right.$

點評 本題考查了函數解析式的求法，利用了待定系數法，換元法和函數的性質．比較基礎．