Question

6．已知函數f（x）=sin（2ωx+φ）-1$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為$\frac{π}{2}$，圖象過點$（0，-\frac{1}{2}）$．
（1）求ω、φ的值和f（x）的單調增區間；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）的圖象，若函數F（x）=g（x）+k在區間$[0，\frac{π}{2}]$上有且只有兩個不同零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的周期性求得ω，根據f（x）的圖象過點$（0，-\frac{1}{2}）$，求得φ的值，利用正弦函數的單調性，求得f（x）的單調增區間．
（2）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的值域．結合函數g（x）的圖象和直線y=-k有且只有兩個不同的交點，求得實數k的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=sin（2ωx+φ）-1$（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2，
∵f（x）的圖象過點$（0，-\frac{1}{2}）$，∴sinφ-1=-$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$，故f（x）的單調增區間為[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位，可得y=sin（4x-$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1 的圖象．
在區間$[0，\frac{π}{2}]$上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
故g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1在區間$[0，\frac{π}{2}]$上的值域為[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0]，
若函數F（x）=g（x）+k在區間$[0，\frac{π}{2}]$上有且只有兩個不同零點，
由題意可得，函數g（x）的圖象和直線y=-k有且只有兩個不同的交點，并根據sin（$\frac{π}{3}$）-1=sin$\frac{2π}{3}$-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1≤k＜0．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性和單調性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，方程根的存在性以及個數判斷，屬于中檔題．