Question

17．已知命題p：對?x∈R，都有$\sqrt{3}sinx+cosx＞m$，命題q：?x∈R，使得x²+mx+1≤0，如果“p∨q”是真命題，且“p∧q”是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用兩角和與差的三角函數的化簡函數的解析式，求出命題p是真命題時的m的范圍；求出命題q為真命題的m的范圍，然后利用復合命題的真假求解即可．

解答 解：∵$\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（{x+\frac{π}{6}}）∈[{-2，2}]$，∴p真時，m＜-2．
∵△=m²-4≥0，∴q真時，m≤-2或m≥2，又“p∨q”是真命題，且“p∧q”是假命題，
所以p，q一真一假，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m＜-2}\\{-2＜m＜2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m≥-2}\\{m≤-2或m≥2}\end{array}}\right.$，
∴m=-2或m≥2．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，復合命題的真假的判斷，考查計算能力．