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12.橢圓的中心為坐標(biāo)原點,長、短軸長之比為$\frac{2}{1}$,一個焦點是(0,-2),試求橢圓的離心率和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 根據(jù)題意,由橢圓的焦點坐標(biāo)可得a2-b2=4①,又由其長、短軸長之比為$\frac{2}{1}$,可得$\frac{2a}{2b}$=$\frac{2}{1}$②,聯(lián)立①②,解可得a2、b2的值,由橢圓的離心率公式計算橢圓的離心率,將a2、b2的值代入橢圓的方程即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解答 解:根據(jù)題意,橢圓的一個焦點是(0,-2),即c=2,則有a2-b2=4,①
又由其長、短軸長之比為$\frac{2}{1}$,即$\frac{2a}{2b}$=$\frac{2}{1}$,②
聯(lián)立①②,解可得a2=$\frac{16}{3}$,b2=$\frac{4}{3}$,
即a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
其標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{y}^{2}}{\frac{16}{3}}$+$\frac{{x}^{2}}{\frac{4}{3}}$=1.

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,注意橢圓的焦點在y軸上.

練習(xí)冊系列答案
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(1)若tanα=$\frac{1}{3}$,求$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的值;
(2)若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$,其中x,y∈R,求x+y的最大值.

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4.給出下列命題:①若a<b<0,則$\frac{1}{a}$<$\frac{1}{b}$;②若a>0,b>0,則$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$≥$\frac{ab}{a+b}$;③若a<b<0,則a2>ab>b2;④lg9•lg 11<1;⑤若a>b,$\frac{1}{a}$>$\frac{1}{b}$,則a>0,b<0;⑥正數(shù)x,y滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1,則x+2y的最小值為6.其中正確命題的序號是②③④⑤.

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