Question

9．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點F₁（-$\sqrt{5}$，0），若橢圓上存在一點D，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段DF₁相切于線段DF₁的中點F
（1）求橢圓E的方程；
（2）過坐標原點O的直線交橢圓W：$\frac{{9{x^2}}}{{2{a^2}}}+\frac{{4{y^2}}}{b^2}$=1于P、A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC并延長交橢圓W于B，求證：PA⊥PB．

Answer 1

分析 （I）用a，b，c表示出△OF₁F的邊長，利用勾股定理列方程解出a，b，即可；
（II）設P（m，n），用m，n表示出直線AC的方程，求出B點坐標，計算PA，PB的斜率即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）連接DF₂，FO（O為原點，F₂為右焦點），由題意知：橢圓的右焦點為${F_2}（\sqrt{5}，0）$，
因為FO是△DF₁F₂的中位線，且DF₁⊥FO，所以|DF₂|=2|FO|=2b，
所以|DF₁|=2a-|DF₂|=2a-2b，故$|{F{F_1}}|=\frac{1}{2}|{D{F_1}}|=a-b$，
在Rt△FOF₁中，${|{FO}|^2}+{|{F{F_1}}|^2}={|{{F_1}O}|^2}$，
即b²+（a-b）²=c²=5，又b²+5=a²，解得a²=9，b²=4，
所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓W的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
設P（m，n），則A（-m，-n），C（m，0），
∴${k_{PA}}=\frac{n}{m}$，${k_{AC}}=\frac{n}{2m}$，直線$AC：y=\frac{n}{2m}（x-m）$，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{n}{2m}（x-m）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化簡得$（1+\frac{n^2}{{2{m^2}}}）{x^2}-\frac{n^2}{m}x+\frac{n^2}{2}-2=0$，
∴${x_A}+{x_B}=\frac{{2m{n^2}}}{{2{m^2}+{n^2}}}$
因為x_A=-m，所以${x_B}=\frac{{2{m^3}+3m{n^2}}}{{2{m^2}+{n^2}}}$，則${y_B}=\frac{n}{2m}{x_B}-\frac{n}{2}=\frac{n^3}{{2{m^2}+{n^2}}}$
所以${k_{PB}}=\frac{{\frac{n^3}{{2{m^2}+{n^2}}}-n}}{{\frac{{2{m^3}+3m{n^2}}}{{2{m^2}+{n^2}}}-m}}=-\frac{m}{n}$，
則k_PA•k_PB=-1，即PA⊥PB．

點評 本題考查了橢圓的定義，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．