Question

17．已知數列{a_n}的各項均為非零實數，且對于任意的正整數n，都有（a₁+a₂+a₃+…+a_n）²=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³．
（1）寫出數列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃（請寫出所有可能的結果）；
（2）是否存在滿足條件的無窮數列{a_n}，使得a₂₀₁₇=-2016？若存在，求出這樣的無窮數列的一個通項公式；若不存在，說明理由；
（3）記a_n點所有取值構成的集合為A_n，求集合A_n中所有元素之和（結論不要證明）．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推式，n分別取1，2，3，代入計算，即可得到結論；
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）．可得再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}的任一項a_n與它的前一項a_n-1間的遞推關系；利用a₁=1，a₂₀₁₇=-2016，所以無窮數列{a_n}的前2016項組成首項和公差均為1的等差數列，從第2016項開始組成首項為-2016，公比為-1的等比數列，從而可得數列的通項．
（3）根據遞推式得出A_n的所有元素規律，利用歸納法得出結論．

解答 解：（1）當n=1時，a₁³=a₁²，由a₁≠0得a₁=1．
當n=2時，1+a₂³=（1+a₂）²，由a₂≠0得a₂=2或a₂=-1．
當n=3時，1+a₂³+a₃³=（1+a₂+a₃）²，若a₂=2得a₃=3或a₃=-2；若a₂=-1得a₃=1；
綜上討論，滿足條件的數列有三個：1，2，3或1，2，-2或1，-1，1．
（2）令S_n=a₁+a₂+…+a_n，則S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³（n∈N^*）．
從而（S_n+a_n+1）2=a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³，
兩式相減，結合a_n+1≠0，得2S_n=a_n+1²-a_n+1．
當n=1時，由（1）知a₁=1；
當n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（a_n+1²-a_n+1）-（a_n²-a_n），即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
所以a_n+1=-a_n或a_n+1=a_n+1．
又a₁=1，a₂₀₁₇=-2016，所以無窮數列{a_n}的前2016項組成首項和公差均為1的等差數列，從第2016項開始組成首項為-2016，公比為-1的等比數列．
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，1≤n≤2016}\\{（-1）^{n}•2016，n＞2016}\end{array}\right.$．
（3）由（2）可知a₁=1，a_n=-a_n-1或a_n=a_n-1+1（n≥2），
故A₁={1}，A₂={-1，2}，A₃={1，-2，3}，A₄={-1，2，-3，4}，…
∴當n為奇數時，A_n的所有元素之和為1+3+5+…+n-（2+4+6+…n-1）=$\frac{1+n}{2}•\frac{n+1}{2}$-$\frac{n+1}{2}•\frac{n-1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
當n為偶數時，A_n的所有元素之和為2+4+6+…+n-（1+3+5+…+n-1）=$\frac{n+2}{2}•\frac{n}{2}$-$\frac{n}{2}•\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$．

點評 本題主要考查數列通項、求和與不等式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創新意識．