Question

7．已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點O處，極軸與x軸的非負半軸重合，且長度單位相同．直線的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，若點P為曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，
（α為參數）上的動點．
（1）試寫直線的直角坐標方程及曲線C的普通方程；
（2）求點P到直線距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的平方關系式，消去參數，即可得到直角坐標方程．
（2）求出直線的直角坐標方程，通過直線與圓的位置關系，圓心到直線的距離求解最值即可

解答 解：（1）∵ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴ρsinθ-$\sqrt{3}$ρcosθ=2$\sqrt{3}$，
∴直線l的直角坐標方程為：y-$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，即為y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
（2）曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，消去參數α可知曲線C的普通方程為：（x-2）²+y²=4．
∴由點P的軌跡方程為（x-2）²+y²=4，圓心為C（2，0），半徑為2．
圓心C到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}-0+2\sqrt{3}|}{2}$=2+2$\sqrt{3}$，
∴點P到直線l的最大距離為2+2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．