Question

14．已知△ABC的頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，$AB=BC=AC=\sqrt{3}$，則球O的體積是（　　）

• A． $\frac{16}{3}π$
• B． 16π
• C． $\frac{32}{3}π$
• D． 32π

Answer 1

分析 首先求出底面△ABC所在圓的半徑r，結合條件和球的截面的性質和R²=r²+d²，求得R，再由球的體積公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得底面△ABC所在圓的半徑為r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
球心O到平面ABC的距離為d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
且R²=r²+d²=1+$\frac{3}{4}$R²，
可得R=2，
則球O的體積是$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{32}{3}$π．
故選：C．

點評 本題考查球的體積的求法，注意運用球的截面的性質，勾股定理的運用，考查運算能力，屬于基礎題．