Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數，t≠0），其中0≤a＜π，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρ=4sinθ，曲線${C_3}=ρ=4\sqrt{3}cosθ$．
（Ⅰ）求C₂與C₃交點的直角坐標系；
（Ⅱ）若C₂與C₁相交于點A，C₃與C₁相交于點B，求|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過極坐標方程與普通方程的轉化公式，代入化簡即可；
（Ⅱ）通過聯立C₂與C₁、C₃與C₁可知A的極坐標為（4sinα，α）、B的極坐標為（4$\sqrt{3}$cosθ，α），進而利用輔助角公式，結合三角函數的有界性即得結論．

解答 解：（Ⅰ）因為C₂：ρ=4sinθ，
所以ρ²=4ρsinθ，
故C₂：x²+y²-4y=0；
因為C₃：ρ=4$\sqrt{3}$cosθ，
所以ρ²=4$\sqrt{3}$ρcosθ，
故C₃：${x}^{2}+{y}^{2}-4\sqrt{3}x=0$；
聯立得交點坐標為（0，0），（$\sqrt{3}$，3）．
（Ⅱ）曲線C₁的極坐標方程為θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤α＜π，
因此得到A的極坐標為（4sinα，α），B的極坐標為（4$\sqrt{3}$cosθ，α）．
所以|AB|=|4$\sqrt{3}$cosθ-4sinθ|=|8cos（$\frac{π}{6}$+α）|，
當α=$\frac{5π}{6}$時，|AB|取得最大值，最大值為8．

點評 本題考查極坐標與參數方程，考查運算求解能力，涉及輔助角公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．