Question

12．已知函數f（x）=e^x+$\frac{ax}{x+1}$-1（a∈R且a為常數）．
（1）當a=-1時，討論函數f（x）在（-1，+∞）的單調性；
（2）設y=t（x）可求導數，且它的導函數t′（x）仍可求導數，則t′（x）再次求導所得函數稱為原函數y=t（x）的二階函數，記為t′′（x），利用二階導函數可以判斷一個函數的凹凸性．一個二階可導的函數在區間[a，b]上是凸函數的充要條件是這個函數在（a，b）的二階導函數非負．
若g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a-$\frac{1}{{2}^{{e}^{4}}}$）x²在（-∞，-1）不是凸函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數g（x）的二階導數，問題轉化為a≥$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，令h（x）=$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
 令f′（x）=0，解得：x=0，
設r（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，則r′（x）=e^x+$\frac{2}{{（x+1）}^{3}}$，
當x＞-1時，r′（x）＞0，r（x）在（-1，+∞）上是單調增函數，
故x=0是r（x）在（-1，+∞）內的唯一零點，
即x=0是f′（x）在（-1，+∞）內的唯一零點，
所以當-1＜x＜0時，f′（x）＜0，即f（x）在（-1，0）上是單調減函數；
當x＞0時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是單調增函數．
（II）g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x²=（x+1）e^x+（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x²+ax，
g′（x）=（x+2）e^x+2（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x+a，g″（x）=（x+3）e^x+2（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$），
如果g（x）在（-∞，-1）是凸函數，那么?x∈（-∞，-1）都有g″（x）≥0，
g″（x）≥0⇒a≥$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，
令h（x）=$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，即得h′（x）=-$\frac{1}{2}$（x+4）e^x，
h′（x）=0⇒x=-4，當x＜-4時，h′（x）＞0，當-4＜x＜-1時，h′（x）＜0，
即h（x）在（-∞，-4）單調遞增，在（-4，-1）單調遞減，所以h（x）≤h（-4）=e^-4，
即a≥e^-4，又g（x）在（-∞，-1）不是凸函數，
所以a∈（-∞，e^-4）．

點評 本題考查了函數的單調性、函數恒成立問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．