Question

2．某學校記者團由理科組和文科組構成，具體數據如表所示：

組別	理科		文科
性別	男生	女生	男生	女生
人數	3	3	3	1

學校準備從中選4人到社區舉行的大型公益活動中進行采訪，每選出一名男生，給其所在小組記1分，每選出一名女生，給其所在小組記2分，若要求被選出的4人中理科組、文科組的學生都有．
（Ⅰ）求理科組恰好記4分的概率；
（Ⅱ）設文科組男生被選出的人數為X，求隨機變量的分布列X和數學期望E（x）．

Answer 1

分析 （I）使用組合數公式求出所有可能的選法和符合條件的選法，從而計算出概率；
（II）利用組合數公式求出各種情況的概率，得出分布列，再計算數學期望．

解答 解：（Ⅰ）要求被選出的4人中理科組、文科組學生都有，共有${{C}_{6}^{1}C}_{4}^{3}$+${{C}_{6}^{2}C}_{4}^{2}$+${{C}_{6}^{1}C}_{4}^{3}$=194種選法，
其中“理科組恰好記4分“的選法有兩種情況：
①從理科組選2男1女，文科組任選1人，有${{{C}_{3}^{2}C}_{3}^{1}C}_{4}^{1}$=36種選法，
②從理科組中選2女，再從文科組任選2人，有${{C}_{3}^{2}C}_{4}^{2}$=18種選法，
∴理科組恰好記4分的概率P=$\frac{36+18}{194}$=$\frac{27}{97}$．   
（Ⅱ）由題意可得X=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{{C}_{1}^{1}C}_{6}^{3}}{194}$=$\frac{10}{97}$，P（X=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{7}^{3}}{194}$=$\frac{105}{194}$，P（X=2）=$\frac{{{C}_{3}^{2}C}_{7}^{2}}{194}$=$\frac{63}{194}$，P（X=3）=$\frac{{{C}_{3}^{3}C}_{6}^{1}}{194}$=$\frac{3}{97}$．
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{10}{97}$	$\frac{105}{194}$	$\frac{63}{194}$	$\frac{3}{97}$

∴E（X）=0×$\frac{10}{97}$+1×$\frac{105}{194}$+2×$\frac{63}{194}$+3×$\frac{3}{97}$=$\frac{249}{194}$．

點評 本題考查了組合數公式的應用，離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．