Question

17．已知數(shù)列{a_n}的第一項(xiàng)a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，（n=1，2，3，…），試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式（　　）

• A． ${a_n}=\frac{1}{n}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{n+1}$
• C． a_n=n
• D． ${a_{n+1}}=\frac{1}{n}$

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系式可求出a₂，a₃，a₄，…，進(jìn)而猜想歸納出其通項(xiàng)公式

解答 解：由題意可得：a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，
則a₂=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$
…
∴通過(guò)觀察歸納出規(guī)律：其通項(xiàng)應(yīng)是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子為1，分母與相應(yīng)的下標(biāo)相同，
故a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．
可用數(shù)學(xué)歸納法或取倒數(shù)法加以證明，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 正確理解遞推關(guān)系并求出數(shù)列的前幾項(xiàng)和使用歸納推理是解題的關(guān)鍵