Question

7．如圖所示，已知二面角α-l-β的平面角為θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B為垂足，且PA=4，PB=5，設A、B到棱l的距離分別為x、y，當θ變化時，點（x，y）的軌跡是下列圖形中的（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 在平面α內過A作AM⊥l，垂足為M，連結BM，分別在Rt△PAM和Rt△PBM中使用勾股定理計算PM即可得出軌跡方程．

解答 解：在平面α內過A作AM⊥l，垂足為M，連結BM，
∵PA⊥α，AM?α，∴PA⊥AM，
∴PM=$\sqrt{P{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
同理PM=$\sqrt{P{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{25+{y}^{2}}$，
∴16+x²=25+y²，即x²-y²=9，
又x≥0，y≥0，
∴（x，y）的軌跡是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$在第一象限內的部分．
故選：D．

點評 本題考查了線面垂直的性質，屬于基礎題．