Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-1），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，若△OAB是以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則△OAB的面積為（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模長(zhǎng)相等的條件，利用向量數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：若△OAB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，
則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=0，
則|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
平方得|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
則|$\overrightarrow{OA}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²=2+2=4，
則|$\overrightarrow{OA}$|=2，
則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直和向量相等的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．