Question

15．某大學高等數學這學期分別用A，B兩種不同的數學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數均為60人，入學數學平均分和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）．現隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數學期末考試成績，得到莖葉圖：
   

	甲班	乙班	合計
優秀
不優秀
合計

（1）學校規定：成績不得低于85分的為優秀，請填寫下面的2×2列聯表，并判斷“能否在犯錯誤率的概率不超過0.025的前提下認為成績優異與教學方式有關？”
下面臨界值表僅供參考：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考方式：${k^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d）
（2）現從甲班高等數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為86分的同學至少有一個被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）根據莖葉圖，填寫列聯表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；
（2）利用列舉法求出基本事件，計算所求的概率值．

解答 解：（1）根據莖葉圖，填寫列聯表如下；

	甲班	乙班	合計
優秀	3	10	13
不優秀	17	10	27
合計	20	20	40

計算觀測值${k^2}=\frac{{40×{{（{3×10-10×17}）}^2}}}{13×27×20×20}≈5.584＞5.024$，
因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，可以認為成績優秀與數學方式有關；
（2）甲班高等數學成績不得低于80分的6名同學記為A、B、c、d、e、f，
其中A、B為86分的學生；
從6人中隨機抽取2人，基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15種，
成績為86分的同學至少有一個被抽中基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共6種，
故所求的概率為$P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗和列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．