Question

4．已知數列{a_n}的前n項和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求S_n的最大值；
（3）設b_n=|a_n|，求數列{b_n}的前10項和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）由數列的遞推式：n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡計算即可得到所求通項公式；
（2）配方，由二次函數的最值求法，即可得到所求最大值；
（3）求出b_n=|a_n|=|11-2n|，討論當1≤n≤5時，b_n=11-2n；n≥6時，b_n=2n-11．計算即可得到所求和．

解答 解：（1）數列{a_n}的前n項和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
可得n=1時，a₁=S₁=10-1=9；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-10（n-1）+（n-1）²=11-2n，
上式對n=1也成立．
則a_n=11-2n，n∈N^*；
（2）S_n=10n-n²=-（n-5）²+25，
當n=5時，S_n的最大值為25；
（3）b_n=|a_n|=|11-2n|，
當1≤n≤5時，b_n=11-2n；
n≥6時，b_n=2n-11．
則數列{b_n}的前10項和T₁₀=9+7+5+3+1+1+3+5+7+9
=2×$\frac{1}{2}$（9+1）×5=50．

點評 本題考查數列的通項的求法，注意運用數列的遞推式，考查數列的前n項和的最值以及等差數列的求和公式的運用，屬于中檔題．