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19.如圖,△PAB的頂點A、B為定點,P為動點,其內切圓O1與AB、PA、PB分別相切于點C、E、F,且$AB=2\sqrt{3}$,||AC|-|BC||=2.
(1)求||PA|-|PB||的值;
(2)建立適當的平面直角坐標系,求動點P的軌跡W的方程;
(3)設l是既不與AB平行也不與AB垂直的直線,線段AB的中點O到直線l的距離為 $\sqrt{2}$,直線l與曲線W相交于不同的兩點G、H,點M滿足$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$,證明:$2|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{GH}|$.

分析 (1)根據平面幾何的知識可得∴||PA|-|PB||=||AC|-|BC||=2;
(2)以點O為坐標原點,線段AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系,故由雙曲線的定義,知動點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的部分,問題得以解決;
(3)設直線l:y=kx+b,k≠0,聯立方程組,消y,根據根與系數的關系可得,x1x2=-$\frac{{b}^{2}+2}{2-{k}^{2}}$,x1+x2=$\frac{2kb}{2-{k}^{2}}$,再根據向量的數量積公式可得$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=-2k2+b2-2,再根據點到直線的距離公式可得2k2+2=b2,即可證明$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=0,由$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$,即可證明結論成立.

解答 解:(1)根據切線長定理可得|PE|=|PF|,|AE|=|AC|.|BF|=|BC|,
∴||PA|-|PB||=||PE|+|AE|-|PF|-|BF||=||AC|-|BC||=2;
(2)以點O為坐標原點,線段AB所在的直線為x軸,建立平面直角坐標系,
由(1)可知||PA|-|PB||=2<|AB|=2$\sqrt{3}$,
∴由雙曲線的定義,知動點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的部分,
∵2a=2,2c=2$\sqrt{3}$,
∴動點P的軌跡W的方程x2-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1,(y≠0);
(3)證明:設直線l:y=kx+b,k≠0,
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{2{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$,得(2-k2)x2-2kbx-b2-2=0,
由題意有k2≠2,△=b2-k2+2>0,x1x2=-$\frac{{b}^{2}+2}{2-{k}^{2}}$,x1+x2=$\frac{2kb}{2-{k}^{2}}$,
∴$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=-2k2+b2-2,
又d=$\sqrt{2}$=$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$,
∴2k2+2=b2
∴$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=0,
∵$2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OH}$,
∴$2|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{GH}|$.

點評 本題考查了雙曲線的方程的求法和直線和雙曲線的位置關系,以及向量的數量積和點到直線的距離公式,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

9.以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,圓C1的極坐標方程是ρ2+2ρcosθ=0,圓C2的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$(α是參數).
(Ⅰ)求C1和C2的交點的極坐標;
(Ⅱ)直線l經過C1和C2的交點,且垂直于公共弦,求直線l的極坐標方程.

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10.設F1、F2分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F2的直線交雙曲線右支于A、B兩點.若AF2⊥AF1,且|BF2|=2|AF1|,則雙曲線的離心率為(  )
A.$\frac{\sqrt{17}}{3}$B.$\frac{\sqrt{10}}{2}$C.$\sqrt{13}$D.$\frac{\sqrt{58}}{4}$

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7.已知點P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右支上一點,F1,F2為雙曲線的左、右焦點,使($\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)($\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$)=0(O為坐標原點),且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|,則雙曲線離心率為(  )
A.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$B.$\sqrt{6}$+1C.$\sqrt{3}$+1D.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

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14.拋物線x=4y2的焦點坐標是  (  )
A.($\frac{1}{16}$,0)B.(1,0)C.(0,$\frac{1}{16}$)D.(0,1 )

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4.下列各命題是真命題的是(  )
A.如果a>b,那么$\frac{a}{c}$>$\frac{b}{c}$B.如果ac<bc,那么a<b
C.如果a>b,c>d,那么a-c>b-dD.如果a>b,那么a-c>b-c

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11.已知命題p:?x0∈R,lnx0≥x0-1.命題q:?θ∈R,sinθ+cosθ>-1.則下列命題中為真命題的是(  )
A.p∧(?q)B.(?p)∨qC.(?p)∧(?q)D.p∧q

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8.拋物線C:y2=2px(p>0)的準線為l,焦點為F,圓M的圓心在x軸的正半軸上,圓M與y軸相切,過原點O作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線m,交直線l于點A,交圓M于不同的兩點O、B,且|AO|=|BO|=2,若P為拋物線C上的動點,則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$的最小值為(  )
A.-2B.2C.$\frac{7}{4}$D.3

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9.已知0<α<$\frac{π}{2}$,cos(2π-α)-sin(π-α)=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求$\frac{{{{cos}^2}(\frac{3π}{2}+α)+2cosαcos(\frac{π}{2}-α)}}{{1+{{sin}^2}(\frac{π}{2}-α)}}$的值.

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