Question

8．拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，圓M與y軸相切，過原點O作傾斜角為$\frac{π}{3}$的直線m，交直線l于點A，交圓M于不同的兩點O、B，且|AO|=|BO|=2，若P為拋物線C上的動點，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$的最小值為（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． $\frac{7}{4}$
• D． 3

Answer 1

分析 求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程，表示出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$，然后根據點在拋物線上將y消去，求關于x 的二次函數的最小值即可；

解答 解：因為$\frac{p}{2}$=OA•cos$\frac{π}{3}$=2×$\frac{1}{2}$=1，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x，
設⊙M的半徑為r，則$\frac{OB}{2}•\frac{1}{cos\frac{π}{3}}$=2，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4
設P（x，y）（x≥0），則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}$=x²-3x+2+y²=x²+x+2，
所以當x=0時，有最小值為2
故選：B

點評 本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數量積的最值，屬于中檔題．