Question

7．已知點P為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右支上一點，F₁，F₂為雙曲線的左、右焦點，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0（O為坐標原點），且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，則雙曲線離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• B． $\sqrt{6}$+1
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 根據雙曲線的定義可知和|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，可得|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，再根據（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，得到△OPF₂為等邊三角形，即可得到c=（$\sqrt{3}$+1）a，即可求出離心率．

解答 解：|PF₁|-|PF₂|=2a，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴|PF₂|=（$\sqrt{3}$+1）a，
∵（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|，
設Q為PF₂的中點，
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OQ}$，$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
∴$\overrightarrow{OQ}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
∴△OPF₂為等邊三角形，
∴c=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質，考查直徑所對的圓周角為直角，以及等腰三角形的性質，考查離心率公式的運用，屬于中檔題．