Question

6．在二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{2•\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中，若前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（　　）

• A． $\frac{7}{16}$
• B． 7
• C． 16
• D． 28

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，求出前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n；將n的值代入通項(xiàng)，令x的指數(shù)等于0，求出展開式的常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：二項(xiàng)式（x+$\frac{1}{2•\root{3}{x}}$）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式為（$\frac{1}{2}$）^rC_n^rx${\;}^{n-\frac{4r}{3}}$，
前三項(xiàng)的系數(shù)為1，$\frac{1}{2}$n，$\frac{1}{8}$n（n-1），
∴n=1+$\frac{1}{8}$n（n-1），
解得n=8，
∴展開式的通項(xiàng)公式為（$\frac{1}{2}$）^rC₈^rx${\;}^{8-\frac{4r}{3}}$，
令8-$\frac{4}{3}$r=0，解得r=6，
則二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)等于（$\frac{1}{2}$）⁶C₈⁶=$\frac{7}{16}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題．