Question

16．直角坐標系xOy中，曲線C：x²+（y-1）²=4與y軸負半軸交于點K，直線l與C相切于K，T為C上任意一點，T′為T在l上的射影，P為T，T'的中點．
（Ⅰ）求動點P的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）軌跡Γ與x軸交于A，B，點M，N為曲線Γ上的點，且OM∥AP，ON∥BP，試探究三角形OMN的面積是否為定值，若為定值，求出該值；若非定值，求其取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意求得K的坐標與直線l的方程．設P（x，y），可知T'（x，-1），T（x，2y+1）．把T的坐標代入圓C的方程，可得動點P的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）依題意，不妨設A（-2，0），B（2，0），設OM的斜率為k₁，可得AP的斜率也為k₁；同理，設OM的斜率為k₂，可得BP的斜率也為k₂．寫出AP、BP方程，分別與橢圓方程聯立，整理可得${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{4}$，不妨設k₁＞0，k₂＜0．再寫出OM，ON的方程，與橢圓方程聯立，求出M，N的坐標，求得|OM|，再由點到直線的距離公式求出N到OM的距離d．代入三角形OMN的面積整理得答案．

解答 解：（Ⅰ）依題意，可知K（0，-1），直線l：x=-1．
設P（x，y），依題意，可知T'（x，-1），T（x，2y+1）．
∵T為C：x²+（y-1）²=4上動點，∴C：x²+（2y+1-1）²=4，
可得動點P的軌跡Γ的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）依題意，不妨記A（-2，0），B（2，0），設OM的斜率為k₁，
∵OM∥AP，∴AP的斜率也為k₁；
同理，設OM的斜率為k₂，
∵ON∥BP，∴BP的斜率也為k₂．
設P（x₀，y₀），由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_1}（x+2）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，得$（1+4{{k}_{1}}^{2}）{x}^{2}+16{{k}_{1}}^{2}x+16{{k}_{1}}^{2}-4=0$，
則${x}_{0}-2=\frac{-16{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$ ①；
同理，由$\left\{{\begin{array}{l}{y={k_2}（x-2）}\\{{x^2}+4{y^2}=4}\end{array}}\right.$，得$（1+4{{k}_{2}}^{2}）{x}^{2}-16{{k}_{2}}^{2}x+16{{k}_{2}}^{2}-4=0$，
則${x}_{0}+2=\frac{16{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$ ②．
聯立①②，消去x₀可得${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{4}$，不妨設k₁＞0，k₂＜0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得M（$\frac{2}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$，$\frac{2{k}_{1}}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$），則|OM|=$\sqrt{\frac{4（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，可得N（$-\frac{2}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$，$\frac{2{k}_{2}}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}$）．
則N到OM的距離d=$\sqrt{\frac{4（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{（1+4{{k}_{2}}^{2}）（1+{{k}_{1}}^{2}）}}$．
則三角形OMN的面積$S=\frac{1}{2}|{OM}|•d$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+4{{k}_{1}}^{2}}}•\sqrt{\frac{4（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{（1+4{{k}_{2}}^{2}）（1+{{k}_{1}}^{2}）}}$=$\sqrt{\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（{k}_{1}-{k}_{2}）^{2}}{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}-2{k}_{1}•{k}_{2}}}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．