Question

6．如圖，點P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，點E為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面BED；
（2）求異面直線AD與PB所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD，設AC∩BD=O，則O為AC的中點，可得OE為三角形PAC的中位線，得OE∥PC，由線面平行的判定可得PC∥平面BED；
（2）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BC，再由ABCD為矩形，得BC⊥AD，由線面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，有BC⊥PB，即∠PBC=90°，從而可得異面直線AD與PB所成角．

解答 （1）證明：如圖，連接AC，BD，設AC∩BD=O，則O為AC的中點，
連接OE，又E為PA的中點，∴OE∥PC，
∵OE?平面BED，PC?平面BED，
∴PC∥平面BED；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，而BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
又ABCD為矩形，則BC⊥AD，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，則BC⊥PB，即∠PBC=90°，
∵AD∥BC，∴異面直線AD與PB所成角即為∠PBC=90°．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了異面直線所成角的求法，是中檔題．