Question

14．已知x的不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a，其中a為實數．
（1）當a=1時，解不等式；
（2）若不等式的解集為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入，通過討論x的范圍，求出各個區間上的不等式的解集，取并集即可；（2）令f（x）=|x+3|-|x-1|，求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=1時，|x+3|-|x-1|≤-2，
令f（x）=|x+3|-|x-1|，
則當x＜-3時，f（x）=-x-3+x-1=-4≤-2，成立，
當-3≤x≤1時，f（x）=2x+2≤-2，解得：x≤-2，
當x＞1時，f（x）=x+3-x+1=4＞-2，不成立，
故不等式的解集是{x|x≤-2}，
（2）：令f（x）=|x+3|-|x-1|，
則當x＜-3時，f（x）=-x-3+x-1=-4；
當-3≤x≤1時，f（x）=2x+2∈[-4，4]；
當x＞1時，f（x）=x+3-x+1=4；
∴f（x）_max=4．
∵不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a的解集是R，
∴a²-3a≥f（x）_max=4，
∴a²-3a-4≥0．
解得：a≥4或a≤-1．

點評 本題考查絕對值不等式，考查構造函數思想與方程思想，考查理解題意與推理運算的能力，屬于中檔題．