Question

11．在平面直角坐標系xOy中，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e，D為右準線上一點．
（1）若e=$\frac{1}{2}$，點D的橫坐標為4，求橢圓的方程；
（2）設斜率存在的直線l經過點P（$\frac{3a}{4}$，0），且與橢圓交于A，B兩點．若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，DP⊥l，求橢圓離心率e．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a=2c，準線$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即可求得a和c，則b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（2）方法一：設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得D點坐標，由D的橫坐標為$\frac{{a}^{2}}{c}$，即可表示出D點坐標，即可求得直線PD的斜率，由k_PD•k_AB=-1，即可求得a和c的關系，即可求得橢圓離心率e；
方法二：設D點坐標，求得直線PD的方程，利用點差法及向量的數量積，即可求得直線AB的斜率，由k_PD•k_AB=-1，即可求得a和c的關系，即可求得橢圓離心率e．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，①橢圓的右準線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，則a²=4c，②，解得：a=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）方法一：設直線AB的方程：x=my+$\frac{3a}{4}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{3}{4}a}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}-{a}^{2}^{2}=0}\end{array}\right.$，整理得：（a²+b²m²）y²+$\frac{3}{2}$ab²my-$\frac{7}{16}$a²b²=0，
y₁+y₂=-$\frac{3a^{2}m}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$，則x₁+x₂=m（y₁+y₂）+$\frac{3a}{2}$=$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$，
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，則$\overrightarrow{OD}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$，-$\frac{3a^{2}m}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$），
則D（$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$，-$\frac{3a^{2}m}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$），由D在橢圓的右準線上，則$\frac{3{a}^{3}}{2（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，整理得3ac=2（a²+b²m²），
∴D（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{^{2}m}{c}$），則直線PD的斜率$\frac{-\frac{^{2}m}{c}-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-\frac{3a}{4}}$=-$\frac{4^{2}m}{4{a}^{2}-3ac}$，
由DP⊥l，則-$\frac{4^{2}m}{4{a}^{2}-3ac}$=-m，整理得4b²=4a²-3ac，即3ac=4（a²-b²）=4c²，則3a=4c，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
橢圓離心率e的值為$\frac{3}{4}$．
方法二：設D（$\frac{{a}^{2}}{c}$，y），P（$\frac{3a}{4}$，0），則直線DP的斜率k_PD=$\frac{y-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-\frac{3a}{4}}$=$\frac{4cy}{4{a}^{2}-3ac}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=y}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，兩式相減，整理得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{\frac{{a}^{2}}{c}}{y}$=-$\frac{^{2}}{cy}$，
∴直線l的斜率k_AB=-$\frac{^{2}}{cy}$，
∴DP⊥l，則k_PD•k_AB=-1，
$\frac{4cy}{4{a}^{2}-3ac}$×（-$\frac{^{2}}{cy}$）=-1，整理得4b²=4a²-3ac，即3ac=4（a²-b²）=4c²，則3a=4c，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，
橢圓離心率e的值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量的坐標運算，點差法的應用，考查計算能力，屬于中檔題．