Question

1．已知函數f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2-|x-1|恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，直線y=m與函數f（x）的圖象圍成三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉化為$（|x-\frac{a}{2}|+|x-1|{）_{min}}≥1$成立，根據絕對值的性質求出其最小值，從而求出a的范圍即可；
（Ⅱ）求出f（x）的分段函數的形式，畫出函數的圖象，結合圖象求出m的范圍即可．

解答 解：（ I）∵f（x）≥2-|x-1|恒成立，
即$|x-\frac{a}{2}|+|x-1|≥1$恒成立，
∴$（|x-\frac{a}{2}|+|x-1|{）_{min}}≥1$成立，（2分）
由$|x-\frac{a}{2}|+|x-1|≥|x-\frac{a}{2}-x+1|=|\frac{a}{2}-1|$得$|\frac{a}{2}-1|≥1$，（3分）
解得：a≤0或a≥4，所以a的取值范圍為（-∞，0]∪[4，+∞）．（4分）
（Ⅱ）當a=1時，$f（x）=|2x-1|+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2-3x，（x≤\frac{1}{2}）\\ x，（\frac{1}{2}＜x＜1）\\ 3x-2，（x≥1）\end{array}\right.$（6分）
做出f（x）的圖象，如圖所示：
（8分）
可知，當$\frac{1}{2}＜m≤1$時，直線y=m與函數的圖象圍成三角形，
即所求m的取值范圍為$（\frac{1}{2}，1]$． （10分）

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的性質以及數形結合思想，是一道中檔題．