Question

10．已知圓C的方程為（x-3）²+（y-4）²=16，過直線l：6x+8y-5a=0（a＞0）上的任意一點(diǎn)作圓的切線，若切線長的最小值為$2\sqrt{5}$，則直線l在y軸上的截距為$\frac{55}{4}$．

Answer 1

分析 由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，過直線l：6x+8y-5a=0（a＞0）上的任意一點(diǎn)作圓C的切線，切線長最小轉(zhuǎn)化為圓心到直線l的距離最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式得答案．

解答 解：如圖，由（x-3）²+（y-4）²=16，得圓心坐標(biāo)為（3，4），

要使切線長最小，即圓心到直線l：6x+8y-5a=0的距離最小，
∵圓的半徑為4，切線長為$2\sqrt{5}$，
∴圓心到直線l：6x+8y-5a=0（a＞0）的距離等于$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}=6$．
再由$\frac{|3×6+4×8-5a|}{10}=6$，解得：a=22（a＞0）．
此時(shí)直線l在y軸上的截距為$\frac{5a}{8}=\frac{5}{8}×22=\frac{55}{4}$．
故答案為：$\frac{55}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．